Jumat, 08 Januari 2016

Derajat Kebebasan Kuadratik

Suatu derajat kebebasan X_i adalah kuadratik apabila the energi terkait dengan derajat kebebasan, dapat ditulis sebagai

E = \alpha_i\,\,X_i^2 + \beta_i \,\, X_i Y ,
di mana Y adalah kombinasi linear dari setiap derajat kebebasan kuadratik.
contoh: jika X_1 dan X_2 adalah dua derajat kebebasan, dan E adalah energi asosiatif:
  • Jika E = X_1^4 + X_1^3 X_2 + X_2^4, dengan dua derajat kebebasan yang tidak independen dan non-kuadratik.
  • Jika E = X_1^4 + X_2^4, dengan dua derajat kebebasan yang independen and non-quadratik.
  • Jika E = X_1^2 + X_1 X_2 + 2X_2^2, dengan dua derajat kebebasan yang tidak independen dan kuadratik.
  • Jika E = X_1^2 + 2X_2^2, dengan dua derajat kebebasan yang independen dan kuadratik.
Sebagai contoh, dalam Newtonian mechanics, dynamics suatu sistem dengan derajat kebebasan kuadratik diatur sehingga homogen persamaan differential linear dengankoefisien konstan.

Derajat Kebebasan Independen dan Kuadratik

X_1, \ldots, X_N adalah derajat kebebasan kuadratik dan independen apabila energi assosiatif untuk keadaan mikro suatu sistem bisa dipresentasikan sebagai berikut:
E = \sum_{i=1}^N \alpha_i X_i^2

Teorema Equipartisi

Pada batasan klasik mekanika statisti, pada equilibrium termodinamika, energi internal dari suatu sistem N derajat kebebasan independen dan kuadratik adalah:
U = \langle E \rangle = N\,\frac{k_B T}{2}
Disini, mean energi assosiatif dengan derajat kebebasan adalah:
\langle E_i \rangle = \int dX_i\,\,\alpha_i X_i^2\,\, p_i(X_i) = \frac{\int dX_i\,\,\alpha_i X_i^2\,\, e^{-\frac{\alpha_i X_i^2}{k_B T}}}{\int dX_i\,\, e^{-\frac{\alpha_i X_i^2}{k_B T}}}
\langle E_i \rangle = \frac{k_B T}{2}\frac{\int dx\,\,x^2\,\, e^{-\frac{x^2}{2}}}{\int dx\,\, e^{-\frac{x^2}{2}}} = \frac{k_B T}{2}
Apabila derajat kebebasan independen, energi internal dari sistem setara dengan jumlah rata-rata energi assosiatif dengan setiap derajat kebebasan, yang dapat ditunjukkan pada hasil.
Diposting oleh di