Jumat, 08 Januari 2016

Derajat kebebasan Independen

Derajat kebebasan terdiri atas X_1, \ldots, X_N suatu sistem yang independen jika energi assosiatif diatur bisa ditulis sebagai berikut: E = \sum_{i=1}^N E_i(X_i), di mana E_i adalah fungsi dengan variabel tunggal X_i. example: jika X_1 and X_2 memiliki 2 derajat kebebasan, dan E adalah energi assosiatif:


  • Jika E = X_1^4 + X_2^4, dengan dua derajat kebebasan yang independen.
  • Jika E = X_1^4 + X_1 X_2 + X_2^4, dengan dua derajat kebebasan yang tidak independen. Istilah yang melibatkan produk X_1 dan X_2 adalah istilah kopling, yang menggambarkan interaksi antara dua derajat kebebasan.
Pada termodinamika equilibrium, X_1, \ldots, X_n semua statistik independen satu sama lain.
Untuk i dari 1 to N, dengan iderajat kebebasan X_i didistribusikan berdasarkan distribusi Boltzmann. Probability fungsi kerapatan mengikuti:
p_i(X_i) = \frac{e^{-\frac{E_i}{k_B T}}}{\int dX_i \, e^{-\frac{E_i}{k_B T}}},
Pada bagian ini, seluruh artikel dengan tanda kurung \langle \rangle menunjukkan mean rata-rata jumlah.
Energi internal sistem merupakan jumlah dari rata-rata energi asosiatif untuk setiap derjat kebebasan:
\langle E \rangle = \sum_{i=1}^N \langle E_i \rangle.

Demonstrasi[sunting | sunting sumber]

Sebuah pertukaran energi sistem dalam bentuk panas dengan lingkungannya dan jumlah partikel dalam sistem tetap. Hal ini terkait dengan sistem dalam ansambel kanonik. Perhatikan bahwa dalam mekanika statistik, hasil yang ditunjukkan untuk sistem dalam ansambel tertentu tetap untuk sistem ini pada batas termodinamika dalam ansambel apapun. Dalam ansambel kanonik, kesetimbangan termodinamika, keadaan dari sistem didistribusikan di antara semua keadaan mikro berdasarkan distribusi Boltzmann. Jika T suhu sistem dan k_B konstanta Boltzmann, maka probabilitas fungsi kerapatan yang terkait untuk setiap keadaan mikro adalah sebagai berikut:
P(X_1, \ldots, X_N) = \frac{e^{-\frac{E}{k_B T}}}{\int dX_1\,dX_2 \ldots dX_N e^{-\frac{E}{k_B T}}},
Penyebut pada persamaan di atas memiliki peranan penting. Dalam hal ini, terbentuk produk bergantung pada derajat kebebasan tunggal.
P(X_1, \ldots, X_N) = p_1(X_1) \ldots p_N(X_N)
Gangguan dari multidimensional probabilitas fungsi kepadatan menjadi fungsi produk dengan satu variabel sudah cukup untuk menunjukkan bahwa X_1  \ ldots X_N </ math> adalah [[statistik independen ]] satu sama lain. Setiap fungsi <math>p_i adalah Konstanta Normalisasi, mengikuti bahwa p_iadalah probabiliti fungsi kerapatan dari derajat kebebasan X_i, untuk i dari 1 sampai N.
Sehingga energi internal dari sistem merupakan energi rata-rata. Energi dari derajat kebebasan E_i adalah fungsi dari variabel tunggal X_i. Jika X_1, \ldots, X_N adalah statistik independent satu sama lain, maka energi E_1(X_1), \ldots, E_N(X_N) juga statistik independen satu sama lain. Total energi internal dari sistem bisa ditulis:
U = \langle E \rangle = \langle \sum_{i=1}^N E_i \rangle = \sum_{i=1}^N \langle E_i \rangle
Diposting oleh di